MathJax Test

When $a \ne 0$, there are two solutions to \(ax^2 + bx + c = 0\) and they are $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. $$

When $a \ne 0$, there are two solutions to \(ax^2 + bx + c = 0\) and they are $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. $$

When $a \ne 0$, there are two solutions to \(ax^2 + bx + c = 0\) and they are $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. $$

When $a \ne 0$, there are two solutions to \(ax^2 + bx + c = 0\) and they are $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. $$

When $a \ne 0$, there are two solutions to \(ax^2 + bx + c = 0\) and they are $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. $

Flat space를 다룰 때, 왜 Cartesian coordinate를 사용하고 편한지 위에 설명했다. 하지만, 그렇게 좌표를 잡으면 편할 뿐이지 꼭 그렇게 잡을 필요는 없다. [Fig. \ref{fig:Cartesian coordinate}]에서와 같이 공간을 찌그러트리는 것이 아니고, 공간은 그대로 놔둔채로 기술하는 좌표계만 임의로 바꾸는 경우를 생각해 보자. 뭐 가장 간단히는 Cartesian coordinate의 $x, y, z$축의 방향을 회전시키는 것이 있겠고(Rotation), 원점을 옮기는 방법(Translation), $x$축만 방향을 바꿔서 right-hand convention(: $\hat{x} \times \hat{y} = \hat{z}$)을 left-hand convention(: $\hat{x} \times \hat{y} = -\hat{z}$)으로 바꿀수도(Inversion, Parity) 있겠다. 3차원의 공간이니 이러한 회전(Rotation), 대칭(Inversion), 이동(Translation)말고도 임의의 독립변수 3개를 잡아서 전 공간을 표현하기만 하면 어떠한 coordinate도 괜찮다. $x, y$축의 scale을 바꿔서 정사각형이 아닌 직사각형의 coordinate를 만들어도 되고, 평행사변형 형태로 좌표를 잡아도 된다. 특정점에 관하여 isotropic하게 spherical coordinate $(r, \theta, \phi)$를, 특정직선에 관하여 isotropic하게 cylinderical coordinate $(\rho, \varphi, z)$를 잡아도 되고, 임의의 평면으로 나눠서 임의의 coordinate (u, v, w)를 잡아도 된다. 3차원 공간이라는게 3개의 변수로 공간상의 모든 점을 기술할수 있다는 뜻이니까.

$$ \begin{split} \vec{x} &= x^{\bar{i}} \vec{e}_{\bar{i}} = x \vec{e}_x + y \vec{e}_y + z \vec{e}_z \\ &= x^{i} \vec{e}_{i} = r \vec{e}_r + \theta \vec{e}_{\theta} + \phi \vec{e}_{\phi} \\ &= x^{i'} \vec{e}_{i'} = u \vec{e}_u + v \vec{e}_v + w \vec{e}_w \\ \end{split} $$

$ \begin{split} \vec{x} &= x^{\bar{i}} \vec{e}_{\bar{i}} = x \vec{e}_x + y \vec{e}_y + z \vec{e}_z \\ &= x^{i} \vec{e}_{i} = r \vec{e}_r + \theta \vec{e}_{\theta} + \phi \vec{e}_{\phi} \\ &= x^{i'} \vec{e}_{i'} = u \vec{e}_u + v \vec{e}_v + w \vec{e}_w \\ \end{split} $