Hilbert space (L2 vs continuous)

실제 쓰이는 hilbert space는 L^2 (즉, square itegrable.. 파동함수 제곱하면 확률이죠? 이 확률을 다 더했을때, finite한 값이 나와야 한다는 뜻입니다. 무한대가 되면 입자가 무한개 있다는 뜻일테니..) 라고 들었던거 같습니다. 이 L2 space는 countable infinite이고, 에너지가 discrete한 것처럼 하나하나 셀 수 있다는 이야기죠.

그런데, x나 p space를 보면 uncountable infinite죠? 이건 L2가 아닙니다. L2를 x, p로 표현해 나타내기 위해서 x, p등의 continuous한 uncountable infinite hilbert space를 쓰게 되는데.. 이 set은 L2의 boundary 에 해당한다고 들었던거 같네요. L2에는 포함되지 않는데, 딱 그 바깥에 있는.

예를 들어 L2가 r<10인 set를 말한다면, x,p space가 r<=10인 set라고 생각하면 이해가 될런지... 저도 정확히는 모르니 패스;;

아무튼 uncountable infinite 차원이 쓰일일은 거의 없다고 보셔도 될겁니다. unbound state의 경우 L2로 기술이 안된다고 하는데.. 그래서 flux개념으로 쓰죠. (square integral이 안되니)  unbound state라고 해도, 어느정도 크기내에서 bound 되었다고 하고 풀어야 할겁니다. 실제 unbound state가 존재하는지도 의문이구요. 우주크기가 finite한지에 대한 논의도 들어가야 하고....

뭐 결론은 실제 hilbert space는 countable infinite set으로 이루어져 있고, 이를 좀더 쉽고, 직관적으로 다루기 위해 boundary에 있는 x, p space를 이용한다고 생각하면 될듯 합니다.

임의의 L2 hilbert space는 x, p space로 다 표현 가능합니다. 하지만, 임의의 x, p space는 L2로 표현이 불가능한 경우도 있죠. 예를 들자면 p eigenstate의 경우 square integrable 하지 않은 대표적인 state라 할 수 있습니다. square 적분하면 무한대가 나오니까요.

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Countable hilbert space와 Uncountable hilbert space에 관해 누가 물어보길래 내가 아는대로 쓴건데.. 암튼, 양자역학은 직관과는 다른 학문.

// 2012-05-09: 참고할만한 글들로는
스투름-리우빌 이론(Sturm-Liouville theory)
고유함수의 완비성(completeness of eigenfunctions)
이 있습니다. 링크 들어가서 한번 읽어보시길...